Жил бүрийн гуравдугаар сарын
14-нийг математикт дурлагсад пи тооны баяр гэж тэмдэглэдэг. ШУА-ийн Физик
технологийн хүрээлэнгийнхэн өчигдөр пи тооны өдрийг тэмдэглэсэн юм. Анх АНУ-ын
Сан Франциско хотын Шинжлэх ухааны музейн эрдэм шинжилгээний ажилтан, физикч
мэргэжилтэй эрхэм гуравдугаар сарын
14-ний нэг цаг 59 минут 26 секундыг пи
тооны эхний долоон оронтой давхцаж байгааг ажиглажээ. Энэ цагаас хойш дэлхийн
улс орнууд пи тооны өдрийг тэмдэглэж
эхэлсэн аж. Пи тоог йролцоогоор
3.14159-тэй тэнцүү
хэмээдэг. Математикийн
тогтмолуудын нэг гэгддэг пи тоо математик
болон байгалийн шинжлэх ухааны бусад олон томъёонуудад хэрэглэгддэг юм
байна. Пи тоо бол иррационал тоо. Таслалын арын орнууд
3,1415926535897932... нь давтагдахгүйгээр төгсгөлгүй үргэлжилдэг
онцлогтой. Математикийн
түүхийн туршид пи тоог өндөр нарийвчлалтайгаар тодорхойлж, шинж чанарыг судлах гэж хичээж оролдож иржээ. Пи
тооны тэмдэглэгээ периметр гэсэн грек үгнээс гаралтай. Хүн
төрөлхтний пи
тоог танин мэдэх
хүсэл МЭӨ 1900 оноос эхлэлтэй гэдэг. Эртний Вавилиончууд пи тоог 3.125 гэж гаргасан байдаг бол египетүүд 3.16 гэж бодож, хамгийн их ойртуулсан
утгыг Архимед
3.1408-3.14285 хэмээн гаргаж
байж. Виллиам Шанкс 1874
онд пи утгыг бодож 707 оронг олсон ч 527 дахь орноос тооцоолол нь
алдагджээ. 1945 онд
Д.Ф Фергусон 620 дахь орон хүртэлх тооцооллыг гаргаж байсан бол 1947 онд 710 дахь орон хүртэл бодож чадсан
аж. Такакаши
Канада 1999 онд пи тоог 206.158.430.000 дахь орон хүртэл бодож, 2011
онд Шингэрү Кондо 10 триллион хүртэлх орныг бодож гаргаж байжээ. Дашрамд дурдахад давтагдахгүй хязгааргүй
байх нь "хайрцаглагдмал" байхаас, бүр цаашилбал баригдмал
сэтгэлгээнээс дээр гэдгийг пи тоо илэрхийлдэг
гэх мэт энэ тоог тайлбарласан олон сонирхолтой
эшлэл дуулддаг.
Б.Батгэрэл: Дугуй хэлбэртэй бүхэнд “пи” тоо оршдог
-Танай хүрээлэн пи тооны өдрийг хэд дэх жилдээ тэмдэглэж байна вэ?
-Дөрөв дэх жилдээ тэмдэглэж байна. Математикийг сурталчлах, түгээн
дэлгэрүүлэх зорилгоор пи тооны өдрийг тэмдэглэдэг. Бидний хувьд хамгийн чухал
багаж маань математик. Тийм учраас хүрээлэнд ажилладаг залуус математикийн
өндөр чадвартай байх ёстой.
-Пи тоог энгийнээр тайлбарлаач?
-Ерөөсөө л тойргийн уртыг диаметрт нь
харьцуулсан харьцаа. Ямар ч тойрогт тогтмол байдаг. 3.14 гэсэн тоог пи гэдгийг
математик үзсэн хүн бүр мэддэг. Энэ тоог аравтын бичиглэлээр бичвэл төгсгөлгүй,
үегүй, маш эмх замбараагүй. Тэнд ямар ч зүй тогтол байхгүй. Хязгааргүй их гээд
төсөөлчихөж болно. Зүй тогтолгүй энэ асар том зүйлд бүх юм бий гэдэг нь
тодорхой болж байна л даа. Тийм учраас өөрийнхөө хүссэн тоо бүрийг пи тоон
дундаас олж болно. Пи тооны хувьд хамгийн энгийн дүрсийг илэрхийлж байгаа
учраас бүх хүнд тодорхой байдаг.
-Пи тоог хаана, ямар салбарт ашиглаж байна, таны ярьснаас анзаарахад бүх
салбарт ашиглах боломжтой гэж ойлголоо?
-Манай хүрээлэнд гэхэд л их
энергийн физик гээд орчин үеийн физикийн том салбар хөгжиж байна. Тэр салбарт ч
пи тоог ашиглаж байна. Соронзонгийн тухай сургаальд ч Кулоны томъёон дунд пи
тоо явж байдаг. Биологид пи тоо хаана
тааралддаг тухай сонирхолтой илтгэлүүд манайд тавигдаж байсан. Амьдралд оршин
буй бүхэн дотор дугуй хэлбэртэй зүйл газар сайгүй. Тийм учраас дугуй хэлбэртэй
зүйл дотор пи тоо байгаа гэж ойлгож болно.
-Та сая илтгэлдээ E тооны тухай ярилаа. Энгийнээр тайлбарлаад өгөөч?
-Математикт маш олон тоо бий. E тооны хувьд математикийн шинжлэх ухааны суурь болсон тоо.
Гэхдээ нийт ард түмний хэмжээнд өргөн дэлгэр мэддэггүй учраас нэрд гараагүй
хэрэг л дээ. Математикчид бол мэднэ.
-Тоог хэрхэн энгийнээр ойлгох
тухай таны илтгэлээс тэгийн тухай тайлбар сонирхолтой санагдлаа. Тэгийг 4-5 мянган
жилийн өмнө эртний сумирианчууд
аливаа хоосон утгыг илэрхийлэх гэж биш, 10 болон 100 гэсэн утгыг илэрхийлэх гэж
хэрэглэдэг байсан, МЭӨ 400-300 онд Вавилончууд хоосон утгыг тэгээр илэрхийлж байсан, маяачууд шинэ эрин
үеийн эхний үед тэгийг анх ашигласан гэх мэт
сонирхолтой баримтууд өчнөөн дуулддаг. ?
-Тэг гэдэг тоо маш
сонин хувь заяатай. Ойлгох загвар байхгүй байсан учраас тоо гэж их хожуу хүлээн
зөвшөөрөгдсөн байдаг. Загвар нь бий болсон ч ухаж ойлгож, хүлээн зөвшөөрөх гэж
их цаг хугацааг туулсан. Тэг бол эхлэл, төгсгөл нь давхцаж байгаа хэрчим буюу
цэг. Энэтхэгт долдугаар зуунд Брахмагупта гэдэг математикч тэгийг тоо гэж
үзсэн. Тэгээд шунъята гэж нэрлэсэн байдаг юм.
Бурханы шашинд хоосон чанарыг ийн нэрийддэг. Тэгийн тухай ухагдахуун дараа
нь Арабад нэвтэрсэн. Аль Хорезм гэж математикч 813 оны үед бичсэн номондоо тэгийг сийлбэр гэж
нэрлэсэн түүх бий. Дараа нь 1200-гаад оны үед Италийн математикч Фибонччи Арабаас Европт нэвтрүүлсэн байгаа юм. Энэ хүн Муслим сургуулиас тэгийн тоог мэдэж авсан байдаг.Тэр үед сийлбэр гэж үг нь зеро болж хувираад Европын
бүх хэлэнд нэвтэрсэн. Европт араб тоо нэвтрэхэд хүлээж авч чадахгүй удаан
хугацаа өнгөрсөн байдаг. Маш нууцлаг
сонин зүйл гэж ойлгож байсан.
-Тэгийн тоо Европт Арабаар дамжиж тээр хойно нэвтэрсэн, өрнийнхөн хүлээж
авч чадахгүй удсан гэдэг сонирхолтой мэдээ байна. Сийлбэр гэдэг үгнээс цифр
гэсэн нэршил үүссэн гэж үнэн үү?
-Тэгсэн. Сийлбэр гэдэг үгнээс цифр гэдэг үг гарч
ирсэн. тооны хөгжил цаашилж сөрөг тоо гэдэг ухагдахуун бий болсон.
-Хүн төрөлхтөн тоо гэдэг зүйлийг хэзээнээс хэрэглэж эхэлсэн бол. Хамгийн
эртний олдвор гэвэл юу байна?
-Тооны тухай анхдагч түүхэн
баримт гэвэл 40 өөд мянган жилийн өмнө гэж ярина. Тухайн үед хүн төрөлхтөн тоо
гэдэг юмыг ойлгочихсон амьдралдаа хэрэглэж байж. Тэр үеийн тоог тэмдэглэж байсан
тэмдэглэгээ маш энгийн. Эртний Грект өндөр математик хөгжсөн байхад тоог
тэмдэглэдэг оновчтой арга үүсээгүй байсан. Энэтхэгт анх үүсээд Арабын соёлоор
дамжиж Европт бүр хожуу нэвтэрсэн тухай хоёулаа сая цухас ярилаа. Тэр хүртэл
бүдүүлэг тэмдэглэгээтэйгээ явж ирсэн. “Натурал тоог бурхан бүтээсэн, бусад нь хүний
гараар бүтээгдсэн” гэсэн алдартай эшлэл. Нэн эртнээс хүмүүс натураль тоог өдөр
тутам харж байсан гэдэг утгаар бурхан бүтээсэн гэсэн хэрэг л дээ. Хамгийн эртний
тоотой холбоотой олдворууд Өмнөд Африкийн Эстонийн хаант улсын нэг уулнаас 1970
онд олдсон. Сармагчны чөмөгний ясан дээр
тоо шиг хэрчлээсүүд гаргаад сийлсэн олдвор. Энэ олдвор 43 мянган жилийн настай.
Дараагийн чухал олдвор нь 1960-аад онд олдсон. Хоёр яс бий. Мөн л хэрчлээстэй. Энэ
хоёр яс 20-22 мянган жилийн настай. Бидний
өнөөгийн хэрэглэж байгаа тооны систем долдугаар зуунд Энэтхэгт бий болж, XIII зуунд Европт
нэвтэрсэн аравтын тооллын систем.
-Аравтын тооллын системийн хамгийн чухал нь ямар тоо вэ?
-Энэ загварын хамгийн чухал нь нэгийн
тоо. Нэг бол ерөөсөө л цул бүхэл, хуваагдашгүй тоо. Яг л анхны атом гэдгийг
төсөөлж байсантай л адил зүйл. Тоог эртнээс цэгээр тэмдэглэж байсан. Дараа нь хөгжлийнхөө явцад бутархай тооны
төвшинд очсон. Нэг алимыг хоёр хүн хувааж идэхэд тоогоор илэрхийлэх
шаардлагатай болно. Өмнөх загварын хувьд ингэж сэтгэхэд хэцүү л дээ. Жижиг цэгийг хуваалтай биш.
Тэгэхээр тооны шинэ загвар гарч ирсэн гэсэн үг. Нэгийн тоо гэдгийг цул юм гэж
ойлгож байсан хандлага өөрчлөгдсөн. Нэгийн тоо бүтэцтэй гэдгийг олж
харсан. Түүнийг нь хялбархан дүрслэх загвар нь хэрчим болоод
хувирчихсан. Нэгийг илэрхийлсэн хэрчмээс хоёрыг илтгэсэн хэрчим нь илүү урт
болоод явсан байдаг. Ийм загвар бий
болоод эхлэнгүүт тэгийг тоо гэж хүлээн зөвшөөрөх анхдагч нөхцөл бүрдсэн юм.
-Хасах нэг гэсэн тооны эхлэл хэзээнээс тавигдсан байдаг юм бол?
-МЭӨ 200 гаад оны үед эртний
Хятадад сөрөг тоон дээр үйлдэл хийж байсан. Ихэвчлэн худалдааны үйл ажиллагаанд
ашиглаж байсан түүх бий. Авлагаа улаанаар, өглөгөө хараар тэмдэглэдэг байж. Өмнө
нь тоог хэрчим гэж ойлгож байсан бол дахиад нэг тоо гараад ирчихсэн. Тэр нь сая
таны асуудаг хасах нэг. Сөрөг нэгийн тоо. Эндээс чиглэл нэмэгдэж орж ирж байгаа
юм. Тоо бол чиглэлтэй хэрчим юм байна гэсэн ойлголт ингэж үүссэн. Бүр энгийнээр
хэлбэл чиглэлийн нэг тал нь эерэг, нөгөө тал нь сөрөг. Тоо хоёр хэмжээст зүйл
гэдэг нь ингэж тодорхой болсон. Өмнө нь
зөвхөн хэмжээний тухай яригдаж байсан бол хэмжээн дээр чиглэлийн тухай яригдаж
эхэлсэн байгаа биз. Дараа нь тоог үржүүлэх дүрэм гарч ирсэн. Тэр дунд нэг сонин
дүрэм гарсан. Хасах тоог хасах тоогоор үржүүлэхэд нэмэх тоо гарна гэсэн дүрэм. 1540-өөд онд Италийн математикч куб
тэгшитгэлийг бодох томъёог гаргаж ирсэн юм. Тэр томъёогоор зарим куба
тэгшитгэлийг бодоод ирэхээр сөрөг тооноос язгуур гаргах шаардлага үүссэн. Комплекс
тооны анхдагч эхлэл ингэж тавигдсан байдаг. Комплекс тоог хүлээн зөвшөөрөх маш
хэцүү байсан л даа. Өнөөдөр ч гэсэн комплекс тоог жийрхсэн байдлаар хардаг хүн
олон бий.
-Комплекс тоо гэнэ ээ, арай энгийнээр тайлбарлах уу?
-1806 онд Италийн математикч комплект
тоог ойлгох загварыг бий болгосон байдаг. Өмнө нь хүн төрөлхтөн тоо чиглэлтэй
хэрчим, тэр нь хоёр янзын чиглэлтэй гэж ойлгож байсан бол энэ хүн тэр ойлголтыг
өөрчилсөн. Хэрвээ чиглэлтэй хэрчим юм бол бусад чиглэл яагаад байж болохгүй гэж
гэдэг асуултыг тавьсан юм. Тэгэхээр тоо бол зөвхөн нэмэх нэг, хасах нэг биш, өөр тийшээ харчихсан тоонууд ч байж болно гэж үзсэн. Тэгээд эдгээр комплекс тоон дээр нэмэх, үржүүлэх үйлдлийг яаж хийх вэ гэсэн
асуулт гарч ирсэн. Эхлээд хэмжээг нь олох шаардлага тулгарсан. Хэмжээг нь
олохдоо хоёр тоог ердийн үржүүлдэг дүрмээр үржүүлнэ, дараа нь чиглэлээ
тодорхойлох тухай ойлголт үүссэн. Чиглэлийг тодорхойлохдоо хоёр тооныхоо
чиглэлийг тодорхойлсон өнцгүүдийг нэмдэг дүрэм гарч ирсэн. Тэгэхээр хоёр тоог
үржүүлэх явцад үржвэр тоо нь координатын эхлэлээ тойроод эргэлдэх боломж гараад
ирж байгаа юм. Өөрөөр хэлбэл хасах нэгийг хасах нэгээр үржүүлэхийн тулд эхлээд
хэмжээсүүдийг нь үржүүлэх нь. Нэгийг нэгээр үржүүлэхэд нэг л гарна. Дараа нь чиглэлүүдийг нь нэмэх ёстой. 180 градусыг 180
градус дээр нэмнэ гэсэн үг. Хариу нь 360 градус. Хасах нэгийг хасах нэгээр
үржүүлэхэд нэмэх нэг гардагийн учир энэ.
-Энгийн хүн ойлгоход төвөгтэй л юм байна. Комплекс тоогоор илэрхийлэгдэх
амьдралын бодит жишээ гэвэл та юуг онцлох вэ?
-Комплекс тоогоор илэрхийлэгдэх
амьдралын бодит жишээг илэрхийлэхэд төвөгтэй. Өдөр тутмын амьдралд гэж яривал
хэцүү л дээ. Гэхдээ шинжлэх ухааны маш том ухагдахуунууд комплекс тоогоор
илэрхийлэгддэг. Физикийн хамгийн тулгуур онол квант механик гээд ярихад л бүх
үндсэн тэгшитгэл нь комплекс тоогоор илэрхийлэгддэг. Тийм учраас дунд сургуульд
энэ талаар заах их бэрхшээлтэй. Ер нь энэ тоог орчин үеийн шинжлэх ухаан
өргөнөөр ашиглаж байгаа.
-Математик хүний сэтгэлгээнд яаж нөлөөлдөг вэ?
-Математикт сайн хүүхэд зөв,
үндэслэлтэй сэтгэж сурдаг. Бүх зүйлийн
зүй тогтлыг харж сурах нь математикт суралцахаас эхэлнэ. Ямар ч зүйлийг багш
хэлсэн юмаа гэж хэзээ ч хүлээн зөвшөөрдөггүй нь математикийн шинжлэх ухааны
бусад салбараас ялгарах онцлог. Математикийн
багш яагаад зөв гэдгээ заавал баталж үзүүлдэг. Бүх юм баталгаатай хийгддэг учир
тэнд том хүн байсан ч алдаа гаргаж болно. Шавь нь буруу гэж шүүмжлэхэд асуудал
байхгүй. Харин бусад шинжлэх ухаанд нэр төр чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Том багш бол буруу зүйл хэлэхгүй гэсэн
ойлголт, хандлага давамгайлдаг. Буруу байсан ч хэн ч хэлж шүүмжилж
зүрхэлдэггүй. 
